Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

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Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $2$ est la matrice carrée $2 \times 2$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

Étape 1.3.2

Remplacez $I_{2}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

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Étape 1.4.3.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 2 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

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Étape 1.5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - λ) - (- 2 \cdot 1)$

Étape 1.5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.1.1

Développez $(1 - λ) (4 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 1 (4 - λ) - λ (4 - λ) - (- 2 \cdot 1)$

Étape 1.5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ (4 - λ) - (- 2 \cdot 1)$

Étape 1.5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 1)$

Étape 1.5.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.1.2.1.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$p (λ) = 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 1)$

Étape 1.5.2.1.2.1.2

Multipliez $- λ$ par $1$ .

$p (λ) = 4 - λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 1)$

Étape 1.5.2.1.2.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - λ (- λ) - (- 2 \cdot 1)$

Étape 1.5.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot 1)$

Étape 1.5.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot 1)$

Étape 1.5.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 1)$

Étape 1.5.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 1)$

Étape 1.5.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot 1)$

Étape 1.5.2.1.2.2

Soustrayez $4 λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot 1)$

Étape 1.5.2.1.3

Multipliez $- (- 2 \cdot 1)$ .

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Étape 1.5.2.1.3.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - - 2$

Étape 1.5.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} + 2$

Étape 1.5.2.2

Additionnez $4$ et $2$ .

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} + 6$

Étape 1.5.2.3

Remettez dans l’ordre $- 5 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 6$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$λ^{2} - 5 λ + 6 = 0$

Étape 1.7

Résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez $λ^{2} - 5 λ + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.7.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 1.7.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(λ - 3) (λ - 2) = 0$

Étape 1.7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$λ - 3 = 0$

$λ - 2 = 0$

Étape 1.7.3

Définissez $λ - 3$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.3.1

Définissez $λ - 3$ égal à $0$ .

$λ - 3 = 0$

Étape 1.7.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 3$

Étape 1.7.4

Définissez $λ - 2$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.4.1

Définissez $λ - 2$ égal à $0$ .

$λ - 2 = 0$

Étape 1.7.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 2$

Étape 1.7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(λ - 3) (λ - 2) = 0$ vraie.

$λ = 3, 2$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- 3$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 1 - 3 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.3

Simplify each element.

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez $3$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 2 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.3.3

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 2 & 4 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.3.4

Soustrayez $3$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when $λ = 3$ .

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Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 (- \frac{1}{2}) & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1}{2} y = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} \\ y \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 2$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 4 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3

Simplify each element.

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 4 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 + 0 & 4 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.3

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 4 - 2 \end{array}]$

Étape 4.2.3.4

Soustrayez $2$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 2 \end{array}]$

Étape 4.3

Find the null space when $λ = 2$ .

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Étape 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & 0 \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 2 + 2 \cdot - 1 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Étape 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Étape 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Étape 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Étape 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$